数学分析小思考（广义积分）
问题背景
周一的习题课，老师讲了一个课后习题，探讨若 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，是否就有 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\) ？然后举了三个反例来论证这个观点是错误的：
反例一
\[ f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x^2},\qquad x \in \mathbb{R^+}\backslash\mathbb{N^*} \\ n,\qquad x=n \in \mathbb{N^*}\end{cases} \]
首先，在任意区间 \([a,b],\forall a,b>0\) 上，\(f(x)\) 可积
证明（参考证明 \(Riemann\) 函数可积）：
设 \(T\) 是 \([a,b]\) 上的任一分划，\(\{\xi _{k}\}\) 是对应于分划 \(T\) 的任意取定的介点组。作积分和 \[ \sum\limits_{k=1}^{n}{f(\xi_{k}) \Delta x_{k}} \] 因为 \([a,b]\) 中至多有 \([b]-[a]+1\) 个正整数（当 \(b\) 不是整数时，有 \([a]-[b]\) 个正整数；当 \(b\) 是整数时，有 \([a]-[b]+1\) 个正整数），记 \(K=[b]-[a]+1\) ，故在 \([a,b]\) 上满足 \(f(x)>\frac{1}{x^2}\) 的点至多有 \(K\) 个。
所以，对于 \(\forall \varepsilon >0\) ，取 \(\delta = \dfrac{\varepsilon}{2K}>0\) ，则当 \(||T||<\delta\) 时，有 \[ \begin{split} \left|\sum_{k=1}^{n}{f(\xi_{k}) \Delta x_{k} }-\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{ {\xi_{k} }^{2} } \Delta x_{k} }\right| &=\sum_{k=1}^{n}{(f(\xi_{k})-\dfrac{1}{ {\xi_{k} }^{2} }) \Delta x_{k} }\\ &=\sum_{f(x)>\frac{1}{x^2} }{(f(\xi_{k})-\dfrac{1}{ {\xi_{k} }^{2} }) \Delta x_{k} }+\sum_{f(x)\le \frac{1}{x^2} }{(f(\xi_{k})-\dfrac{1}{ {\xi_{k} }^{2} }) \Delta x_{k} }\\ &\le K||T|| + \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum_{k=1}^{n}\Delta x_{k} <\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{split} \] 由定积分的定义知 \(f(x)\) 函数在 \([a,b]\) 上可积，积分值为 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\frac{1}{x^2}{\rm d}x}=\left.-\frac{1}{x} \ \right|_a^b\)
由无穷积分的定义，\(f(x)\) 都在 \([a,b]\) 上可积，\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}=\lim\limits_{b \to +\infty}{\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x){\rm d}x} } = 1\) 收敛
但 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=+ \infty\) ，可见 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} \neq 0\)
反例二
\[ f(x)=sin x^2,x \in [1, +\infty] \]
显然，\(f(x)\) 不收敛，故 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} \neq 0\)
作换元 \(t=x^2\) ，则当 \(x=1\) 时，\(t=1\) ；当 \(x \to +\infty\) 时，\(t \to +\infty\) ，则 \[ \displaystyle\int_{1}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{sin x^2{\rm d}x} =\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{\frac{sin t}{2\sqrt{t}}{\rm d}x} \] 显然，\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛
反例三
\[ f(x)=\begin{cases} 2^nx+1-n \cdot 2^n, &x \in [n-\dfrac{1}{2^n},n],\space n \in \mathbb{N^*}\\ -2^nx+1+n \cdot 2^n, &x \in [n, n+\dfrac{1}{2^n}],\space n \in \mathbb{N^*}\\ 0,&x \in [n+\dfrac{1}{2^{n}},n+1-\dfrac{1}{2^{n+1}}] \cup [0,\dfrac{1}{2}],\space n \in \mathbb{N^*} \end{cases} \]
即无穷多个高为\(1\)，底为 \(\dfrac{1}{2^{n-1} }\) 的小三角形
函数图像如图：
附上 \(SageMath\) 代码：
1 | x = var('x') |
显然，每个小三角形面积会越来越小并趋于\(0\)，于是 \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，而 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} \neq 0\)
条件补充
如课后习题所述，添加了 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续的条件后，即当 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛且 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续，则 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\)
下面给出三种证明方法
证法一（积分上限函数）
因为 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续，由一致连续的定义， \(\forall \varepsilon_1>0\)，\(\exists \delta>0\)，\(s.t.\) 当 \(x_1,x_2 \in [a,+\infty)\) 且 \(|x_1-x_2|<\delta\) 时，有 \[ |f(x_1)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon_1}{2} \]
对于上述 \(\delta\) ，将 \(f(x)\) 表示成积分上限函数 \[ f(x)=\dfrac{1}{\delta}f(x)\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{ {\rm d}t}=\dfrac{1}{\delta}\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(x){\rm d}t} \] 所以 \[ \begin{split} |f(x)|&=\dfrac{1}{\delta}|\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(x){\rm d}t}|\\ &=\dfrac{1}{\delta}|\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{(f(x)-f(t)){\rm d}t}+\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(t){\rm d}t}|\\ &\le \dfrac{1}{\delta}|\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{(f(x)-f(t)){\rm d}t}| + \dfrac{1}{\delta}|\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(t){\rm d}t}|\\ &\le \dfrac{1}{\delta}\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{|f(x)-f(t)|{\rm d}t} + \dfrac{1}{\delta}|\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(t){\rm d}t}| \end{split} \] 由 \(f(x)\) 一致连续，对于上述 \(\varepsilon_1\)， \[ |f(x)-f(t)|<\dfrac{\varepsilon_1}{2} \] 故 \[ \dfrac{1}{\delta}\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{|f(x)-f(t)|{\rm d}t} <\frac{\varepsilon_1}{2} \] 又因为 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，由函数极限的 \(Cauchy\) 收敛准则，\(\forall \varepsilon_2>0\)，\(\exists M>a\)，\(s.t.\) \(\forall x_1,x_2>M\) ，有 \[ |\displaystyle\int_{a}^{x_1}{f(x){\rm d}x}-\displaystyle\int_{a}^{x_2}{f(x){\rm d}x}|<\frac{\varepsilon_2}{2} \] 即 \[ |\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}{f(x){\rm d}x}|=|\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}{f(x){\rm d}x}|<\frac{\varepsilon_2}{2} \] 故当 \(x\to +\infty\) 时，由 \[ |\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(x){\rm d}x}|<\frac{\varepsilon_2}{2} \] 当 \(x\to +\infty\) 时，取 \(\varepsilon = max\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}\) ，对于上述 \(\delta\) ，由 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\) 的任意性，有 \[ |f(x)|\le \dfrac{1}{\delta}\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{|f(x)-f(t)|{\rm d}t} + \dfrac{1}{\delta}|\displaystyle\int_{x}^{x+\delta}{f(t){\rm d}t}|<\frac{\varepsilon_1}{2} + \frac{\varepsilon_2}{2} \le \varepsilon \] 故 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\) ，得证
证法二（第一积分中值定理）
因为 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续，由一致连续的定义， \(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists \delta>0\)，\(s.t.\) 当 \(x_1,x_2 \in [a,+\infty)\) 且 \(|x_1-x_2|<\delta\) 时，有 \[ |f(x_1)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon}{2} \] 对于上述 \(\delta\) ，将无穷积分表示成无穷级数， \[ \displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\int_{a+n\delta}^{a+(n+1)\delta}{f(x){\rm d}x} } \] 根据第一积分中值定理， \(\exists \space \xi_n \in [a+n\delta,a+(n+1)\delta]\) ，\(s.t.\) \[ \displaystyle\int_{a+n\delta}^{a+(n+1)\delta}{f(x){\rm d}x}=f(\xi_n)\displaystyle\int_{a+n\delta}^{a+(n+1)\delta}{ {\rm d}x}=f(\xi_n)\delta,\forall n\in \mathbb{N^*} \] 于是 \[ \displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}=\delta\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(\xi_n) \] 因为 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，所以 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(\xi_n)\) 也收敛
由级数收敛的必要条件，若级数收敛，则其通项收敛于\(0\)，故 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(\xi_n)}=0\)
即对于上述 \(\varepsilon>0\) ，\(\exists N_1 \in \mathbb{N^*}\) ，\(s.t.\) 当 \(n>N_1\) 时，\(|f(\xi_n)|<\varepsilon\)
又 \(\{\xi_n\}_{n=0}^{\infty}\) 单调递增
对于上述 \(\varepsilon>0\) ，取 \(M = \xi_{N_1+1}\) ，当 \(x>M\) 时，\(\exists N_2>N_1\) ，\(s.t.\) \[ a+N_2\delta \le x \le a+(N_2+1)\delta \] 从而对于上式中的 \(x\)，有 \[ |f(x)|\le |f(x)-f(\xi_{N_2})| + |f(\xi_{N_2})| <\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \] 故 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\) ，得证
证法三（反证法）
假设 \(\lim\limits_{x \to \infty}{f(x)} \neq 0\) ，则存在数列 \(\{x_n\}_{n=0}^{\infty}\)，满足 \(\lim\limits_{x \to \infty}{x_n}=+\infty\) ，且 \(\exists \varepsilon_0>0\)， \(\exists N_1 \in \mathbb{N^*}\)，\(s.t.\) 当 \(n>N_1\) 时，\(|f(x_n)|\ge \varepsilon_0\)
因为 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续，由一致连续的定义，对于上述 \(\varepsilon_0\)，\(\exists \delta>0\)，\(s.t.\) 当 \(x_1,x_2 \in [a,+\infty)\) 且 \(|x_1-x_2|\le \delta\) 时，有 \[ |f(x_1)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon_0}{2} \] 于是对于 \(\forall n\in \mathbb{N^*}\)，只要满足 \(|x-x_n|\le \delta\) ，都有 \(|f(x)-f(x_n)|<\dfrac{\varepsilon_0}{2}\)
故 \[ \dfrac{\varepsilon_0}{2}\le f(x_n)-\dfrac{\varepsilon_0}{2}\le f(x) \le f(x_n)+\dfrac{\varepsilon_0}{2} \] 从而 \[ |\displaystyle\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}{f(x){\rm d}x}|>|\displaystyle\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}{\dfrac{\varepsilon_0}{2}{\rm d}x}|=\varepsilon_0\delta>0，其中N \in \mathbb{N^*}\cdots\cdots (*) \] 又因为 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，由函数极限的 \(Cauchy\) 收敛准则，\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists M>a\)，\(s.t.\) \(\forall x_1,x_2>M\) ，有 \[ |\displaystyle\int_{a}^{x_1}{f(x){\rm d}x}-\displaystyle\int_{a}^{x_2}{f(x){\rm d}x}|<\varepsilon \] 即 \[ |\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}{f(x){\rm d}x}|=|\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}{f(x){\rm d}x}|<\varepsilon \] 特别地，取 \(\varepsilon=\dfrac{\varepsilon_0\delta}{2}\)，上式也成立
于是由 \(\lim\limits_{x \to \infty}{x_n}=+\infty\) 知， \(\exists N \in \mathbb{N^*}\)，\(s.t.\) 当 \(n>N\) 时，\(x_n-\delta\ge M\)
故 \[ |\displaystyle\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}{f(x){\rm d}x}| <\dfrac{\varepsilon_0\delta}{2} <\varepsilon_0\delta \] 与 \((*)\) 矛盾
故 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\) ，得证
拓展猜想
课后，听见隔壁班的同学在讨论这题，认为一致连续（以下简记为条件一）可能是 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，则 \(\lim\limits_{x \to \infty}{f(x)}=0\) 的充要条件，即若 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 收敛，则 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\) 当且仅当 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续
而课后习题还给了另一个条件：设 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上连续可导，广义积分 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f(x){\rm d}x}\) 和 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f'(x){\rm d}x}\) 都收敛，则 \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}=0\) （以下简记为条件二）
当我指出时（现在想想当时确实有本本主义的感觉），有人反驳道导函数（\(f'(x)\)）有界，不就是 \(f(x)\) 一致连续吗？我当时就被问住了
最初思考
回去想了想，好像可积的必要条件就是被积函数有界噢
由于 \(\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f'(x){\rm d}x}\) 收敛，所以 \(f'(x)\) 必定可积，即 \(\exists M\ge 0\)，\(s.t.\forall x\ge a\)， \(|f'(x)|\ge M\)
则 \(\forall x_1,x_2\ge a\) ，有 \[ |f(x_1)-f(x_2)|\le M|x_1-x_2| \] 满足 \(Lipschitz\) 条件